Abbiamo visto che :
- Addizione e Moltiplicazione di numeri naturali sono due operazioni che danno sempre come risultato altri numeri naturali.
- La Sottrazione può dare come risultato anche numeri negativi: ecco quindi i numeri interi con segno, che comprendono i numeri naturali. L' operazione di somma, sottrazione o moltiplicazione di numeri interi dà come risultato un altro numero intero.
- La Divisione dà luogo ai numeri razionali, cioè quei numeri che presentano cifre decimali dopo la virgola in numero finito o infinito ; in quest'ultimo caso i decimali sono sempre periodici. I numeri razionali comprendono i numeri interi, nel caso in cui il dividendo sia multiplo del divisore.
Si potrebbe pensare pensare i numeri razionali rappresentino tutti i numeri possibili e immaginabili... ma non è così!
Infatti....dato un numero qualsiasi, la sua radice quadrata è quel numero che, moltiplicato per se stesso, dà il numero dato (radicando).
Queste operazioni danno come risultati dei numeri razionali? La risposta è no.
Ammettiamo che la radice ennesima di un numero naturale a possa essere espresso da una frazione fra numeri naturali (interi) p e q, e che questa frazione sia ridotta ai minimi termini (p e q non hanno fattori in comune). Elevando alla potenza n, sparisce il segno di radice, mentre a destra abbiamo p e q elevati all'ennesima potenza: visto che p e q non avevano fattori in comune, dopo quest'operazione continuano a non averne. Rigirando l'equazione si ottiene (a destra) che p alla n deve essere multiplo di q alla n; ma dato che p e q sono primi fra loro, l'espressione può essere vera solo se q vale 1, nel qual caso la frazione p / q è un numero intero. Conclusione: la radice ennesima di un numero qualsiasi può dare come risultato solo un numero intero, oppure un numero irrazionale.
L'esistenza dei numeri irrazionali è nota dalla più remota antichità: già i pitagorici avevano scoperto che la radice quadrata di due (che da un punto di vista geometrico rappresenta il rapporto fra diagonale e lato di un quadrato) non poteva essere espressa sotto forma di frazione. Quindi le radici ampliano ulteriormente il concetto di numero, aggiungendo ai naturali, interi (con segno) e razionali, anche i numeri irrazionali.
Ammettiamo che la radice ennesima di un numero naturale a possa essere espresso da una frazione fra numeri naturali (interi) p e q, e che questa frazione sia ridotta ai minimi termini (p e q non hanno fattori in comune). Elevando alla potenza n, sparisce il segno di radice, mentre a destra abbiamo p e q elevati all'ennesima potenza: visto che p e q non avevano fattori in comune, dopo quest'operazione continuano a non averne. Rigirando l'equazione si ottiene (a destra) che p alla n deve essere multiplo di q alla n; ma dato che p e q sono primi fra loro, l'espressione può essere vera solo se q vale 1, nel qual caso la frazione p / q è un numero intero. Conclusione: la radice ennesima di un numero qualsiasi può dare come risultato solo un numero intero, oppure un numero irrazionale.
L'esistenza dei numeri irrazionali è nota dalla più remota antichità: già i pitagorici avevano scoperto che la radice quadrata di due (che da un punto di vista geometrico rappresenta il rapporto fra diagonale e lato di un quadrato) non poteva essere espressa sotto forma di frazione. Quindi le radici ampliano ulteriormente il concetto di numero, aggiungendo ai naturali, interi (con segno) e razionali, anche i numeri irrazionali.
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