I paradossi di Zenone (500 a.C. ) ci sono stati tramandati attraverso la citazione che ne fa Aristotele nella sua Fisica.
Le argomentazioni di Zenone costituiscono forse i primi esempi del metodo di dimostrazione noto come reductio ad absurdum o dimostrazione per assurdo. Sono anche considerate un primo esempio del metodo dialettico, usato in seguito dai sofisti e da Socrate ed inoltre furono il primo strumento che mise in difficoltà l'ambizione dei pitagorici di ridurre tutta la realtà in numeri.
I paradossi di Zenone restano anche un utile esercizio di logica, per riflettere sulla modalità di costruzione dei ragionamenti umani.
Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il Paradosso di Zenone più famoso.
Una delle descrizioni più famose del paradosso è dello scrittore argentino Jorge Luis Borges:
«Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».
Secondo Aristotele il tempo e lo spazio sono divisibili all’infinito in potenza, ma non sono divisibili all’infinito in atto. Una distanza finita, che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite, è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si compone di parti finite e può essere percorsa.
La spiegazione matematica sta nel fatto che gli infiniti intervalli percorsi ogni volta da Achille per raggiungere la tartaruga diventano sempre più piccoli. Una somma di infiniti elementi, o meglio, il limite di una somma di infiniti elementi, non è necessariamente infinito.
La fallacia nel ragionamento di Zenone, pertanto, sta proprio nel considerare infinita la somma di un numero infinito di termini, quando ciò non è sempre vero, proprio perché la somma di una serie numerica non necessariamente diverge. La causa è quindi da ricercare nell'ignoranza su questi strumenti matematici, definiti solo molto tempo dopo.
Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il Paradosso di Zenone più famoso.
Una delle descrizioni più famose del paradosso è dello scrittore argentino Jorge Luis Borges:
«Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».
Secondo Aristotele il tempo e lo spazio sono divisibili all’infinito in potenza, ma non sono divisibili all’infinito in atto. Una distanza finita, che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite, è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si compone di parti finite e può essere percorsa.
La spiegazione matematica sta nel fatto che gli infiniti intervalli percorsi ogni volta da Achille per raggiungere la tartaruga diventano sempre più piccoli. Una somma di infiniti elementi, o meglio, il limite di una somma di infiniti elementi, non è necessariamente infinito.
La fallacia nel ragionamento di Zenone, pertanto, sta proprio nel considerare infinita la somma di un numero infinito di termini, quando ciò non è sempre vero, proprio perché la somma di una serie numerica non necessariamente diverge. La causa è quindi da ricercare nell'ignoranza su questi strumenti matematici, definiti solo molto tempo dopo.
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