sabato 26 gennaio 2013

NUMERI AMICI, PERFETTI, FIDANZATI, FELICI



Un giorno chiesero a Pitagora: "Chi è un amico?"
Egli rispose: "Colui che è l'altro me stesso."
E portò come esempio i numeri 220 e 284. Sono due numeri amici perché ciascuno di essi è uguale alla somma dei divisori propri dell'altro.
Un divisore proprio di un numero è un divisore minore del numero stesso.
I divisori di 220 sono 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
I divisori di 284 sono 1,2,4,71,142
1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220
I numeri  200 e 284 sono la più piccola coppia di numeri amici.



Da un racconto di Titu Andreescu, Illinois Mathematics and Science Academy.
Il sultano e il matematico

C'era una volta un sultano che si considerava un grande solutore di problemi.
Le guardie gli dissero che uno dei suoi prigionieri era un matematico.
Il giorno seguente il sultano andò a far visita al prigioniero e gli lanciò la sfida seguente:
"Puoi scegliere se rimanere in prigione per tutta la vita o darmi un problema da risolvere. Ma deve essere un problema veramente difficile perché ti lascerò libero finché non troverò la soluzione, ma appena avrò trovato la soluzione ti farò tagliare la testa."
Il prigioniero accettò la sfida senza esitazione.
Diede al sultano il seguente problema:
"La somma di tutti i divisori di 200, escluso il numero stesso, è:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
e la somma di tutti i divisori di 284, escluso il numero stesso, è:
1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.
Trova un'altra coppia di numeri come questi."
Il prigioniero di questa storia se ne andò libero e morì a tarda età con la testa sul collo perché il sultano non fu mai capace di risolvere il problema che egli gli diede.


La coppia di numeri amici (17.296 ; 18.416), spesso attribuita a Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 agosto 1601 – Castres, 12 gennaio 1665), in realtà è stata scoperta dall'arabo al-Banna nel XIII secolo.
La coppia (9.363.584; 9.437.056) fu scoperta da Descartes.
Il mitico Euler (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783), è stato un matematico e fisico svizzero.scoprì ben 59 coppie di numeri amici.
Thabit ibn Qurra scoprì una formula per calcolare coppie di numeri amici.
Se si riesce a trovare un numero n che rende primi i numeri a,b,c delle espressioni seguenti:
a = 3 × 2^n - 1
b = 3 × 2^n-1 - 1
c = 9 × 2 ^(2n-1) - 1
allora i due numeri
2n × a × b
2n × c
sono amici.
Per n=2 si ottiene la coppia 220, 284, per n=4 si ottiene la coppia  17.296, 18.416, per n=7si ottiene 9.363.584 and 9.437.056, rispettivamente le coppie di Pitagora, al-Banna e Descartes.
Tra 0 e 100.000.000 esistono 236 coppie di numeri amici.

Se un numero è amicabile di se stesso, cioè se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è euguale a se stesso (come il numero 28), è chiamato "numero perfetto".


Si dicono “numeri fidanzati” due numeri per i quali  la somma dei divisori di un numero (uno escluso) è uguale all’altro numero. Sono fidanzati i numeri 48 e 75. Infatti, i divisori di 48 sono 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24; la loro somma è 75; i divisori di 75 sono 3, 5, 15, 25; la loro somma è 48.


Si prende un numero, si elevano al quadrato le sue cifre e si sommano i risultati, quindi si ripete l'operazione con il numero ottenuto. Se dopo un po’ di passaggi si raggiunge il numero 1, il numero di partenza è detto “numero felice”. 19 è un numero felice, perché 1+81=82; 64+4=68; 36+64=100; 1+0+0=1.

Ecco qui una applet per trovare alcuni numeri amicali , per numeri non più grandi di 50000

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