LE POTENZE E LE LORO PROPRIETA': MAPPA E TEST

ed un test sulle potenze 

ESPRESSIONI IN Z CON LE POTENZE

Per la terza, espressioni in Z con le potenze 

PROBLEMI ALLA FERMI, COSA SONO?

Avete mai pensato che a volte  basta conoscere approssimativamente il risultato di un problema?

A volte infatti non ci sono tutte le informazioni per giungere ad un risultato esatto. E allora, come si fa?

Si fanno delle ipotesi semplificatrici e si rimanda ad un secondo momento una precisione maggiore.

Enrico Fermi era noto per la sua abilità nel dare stime a mente usando informazioni che apparentemente sembravano insufficienti per arrivare a una risposta quantitativa; egli inoltre amava sottoporre queste questioni ai propri studenti. Perciò molto spesso si parla di stime o problemi alla Fermi. Lo scopo di un problema di Fermi è una stima dell’ordine di grandezza, cioè la potenza di dieci del numero che esprime la risposta cercata.

Il classico problema di Fermi, attribuito a Fermi stesso, è:

                         Esempio: Quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?

Soluzione: Se la popolazione di Chicago è di 4 milioni di persone e una famiglia media è composta da 4 persone, a Chicago ci sono circa 1.000.000 di famiglie; supponiamo, inoltre, che un decimo di esse possieda un pianoforte. Quindi ci saranno 100.000 pianoforti. 

Se ogni pianoforte è accordato ogni anno, ci saranno 100.000 accordature l’anno. 

Supponiamo ancora che ogni accordatore riesca ad accordare 4 pianoforti al giorno, lavorando per 5 giorni la settimana per 50 settimane l’anno. In totale ogni accordatore effettuerà mediamente 4x 5x 50 = 1.000 accordature l’anno.

Dividendo si ottiene:

(100.000 accordature di pianoforte l'anno a Chicago) / (1000 accordature di pianoforte l'anno per accordatore) = 100 accordatori di pianoforte a Chicago. 

Altro esempio: Quanto carburante consumano in un anno le automobili di un paese europeo di 50 milioni di abitanti?

Supponiamo che ci sia un’automobile ogni due abitanti, per un totale di 25 milioni di vetture. Ciascuna di queste automobili percorre in media 10000 km l’anno. 

Supponendo che con un litro di carburante mediamente si percorrono 10 km, si ha che ciascuna vettura consuma:

                                    ( 10000 Km/anno ) : (10 litri/ Km)= 1000 litri /anno

                                     

               1000 litri / anno x 25 000 000 = 25 x dieci alla nona = 2,5 x dieci alla decima litri/ anno

In questo video carino che ho trovato  viene spiegato in modo semplice il metodo di Fermi per risolvere i problemi, usando le potenze di 10. E' in inglese, ma, se avete letto quello che ho scritto sopra, lo capirete e poi....sarà un esercizio utile per imparare la lingua inglese!

SOLUZIONE PROBLEMA PIEGATURA FOGLIO

Da http://untesoroinognidove.blogspot.it/2012/01/sara-mica-matematica-10-le-soluzioni.html

Alla prima piegatura, lo spessore è 0,1 mm x 2 = 0,2 mm.

Dopo la seconda piegatura, diventa 0,2 mm x 2 = 0,4 mm. Si potrebbe anche scrivere 0,1 mm x 2 x 2 = 0,4 mm, cioè 0,1 mm x 2^2 (che sarebbe 0,1 mm per due alla seconda).

Con la terza piegatura si ottiene lo spessore 0,1 mm x 2 x 2 x 2 = 0,1 mm x 2^3 = 0,8 mm.

E così via.

 Alla piegatura numero 20, lo spessore sarà:

0,1 mm x 2^20 = 0,1 mm x 1048576 = 104857,6 mm

Cioè 104,8576 metri. Facciamo 105 metri e non se ne parli più, d’accordo?

In altre parole abbiamo quasi doppiato la torre di Pisa (che è alta 56 metri). Oppure, se preferite, abbiamo costruito un grattacielo, se è vero che si considera grattacielo “qualsiasi edificio di altezza superiore ai 100 metri”.

Se poi tiriamo dritto e continuiamo a piegare per 42 volte, otterremo lo spessore:

0,1 mm x 2^42 = 0,1 mm x 4.398.046.511.104 = 439.804.651.110,4 mm

Cioè 439.804,6511104 chilometri. Per non farla troppo complicata, diciamo 440.000 km (quattrocentoquarantamila chilometri!).

Sapendo che la distanza media tra la Terra e la Luna è di circa 384.000 km, possiamo dire di aver raggiunto la Luna con un foglio di carta.

Anzi, l’abbiamo oltrepassata di quasi 40.000 chilometri.

Qualcuno allora potrebbe chiedersi: perché proprio 42 volte? Non ne potevano bastare 41?

No, non potevamo: a ogni piegatura lo spessore raddoppia, quindi alla piegatura 41 si ha metà spessore rispetto alla 42. Cioè si arriva solo a 220.000 km circa. Decisamente troppo poco per mettere piede sulla Luna.

Sono le meraviglie della crescita esponenziale.

E, vi sembra impossibile piegare un foglio A4 20 o 42 volte? Il fatto  è che non è necessario piegare alcun foglio, bisogna solo immaginare di farlo!

Guardate anche questo filmato, ci sono i sottotitoli in italiano

Non è la prima volta che dobbiamo lavorare con la fantasia! Durante le  lezioni di geometria abbiamo parlato  di punti e  abbiamo detto che un punto possiamo solo immaginarlo perchè non ha dimensioni! 

LE POTENZE

Un problemino per tenersi in allenamento: 

Lo spessore di un foglio di carta, di quelli da fotocopie per intenderci, è di circa 0,1 mm.
Ora, se pieghiamo il foglio a metà, avremo uno spessore doppio: 0,2 mm. Se pieghiamo ancora a metà, avremo uno spessore di 0,4 mm.
Che spessore si raggiunge piegando un foglio per 20 volte?
Che spessore si ottiene piegando il foglio 42 volte?

Si tratta di fare i conti, magari qualche equivalenza, usando anche la calcolatrice.......
Se provate  però....potreste non credere ai risultati! 
Al prox post  o qui la soluzione..

VIAGGIO NELL 'UNIVERSO ( STUPENDO )

In questa stupenda infografica possiamo viaggiare dal'atomo di idrogeno fino ai confini dell'universo, un viaggio attraverso le potenze di dieci da dieci alla meno 15  a dieci alla 26, veramente fantastico!!!!
Un salto di:
100 000 000 000 000  000 000 000 000 000 000 000 000 000 volte
Guardare in full screen!

                  
Copyright 2012. Magnifying the Universe by Number Sleuth.

IN VIAGGIO CON LE POTENZE!!!

Un affascinante viaggio attraverso l'Universo, esprimendo le distanze con le potenze di dieci!
                                                           
                                                          Cliccare sull'immagine

POTENZE

Per gli alunni di prima ( in particolare),  ecco qui  una ulteriore spiegazione sulle potenze e sulle loro proprietà

Ecco anche come usare le tavole che avete in fondo al libro di testo, anche nel caso che il numero sia decimale

SCACCHI, LEGGENDE E POTENZE

Il gioco degli scacchi è uno dei più antichi del mondo, per quanto non si sappia con precisione chi l’abbia inventato: si presume i cinesi, alcune migliaia di anni fa, o forse gli indiani. Lentamente, con il progredire delle relazioni commerciali, si diffuse in altre regioni e specialmente in Persia, dove divenne ben presto popolare e dove i pezzi acquistarono forme ben definite. Essi erano indicati come Re, Consigliere, Elefante, Cavaliere, Carro di guerra, Soldati. Il gioco arrivò in seguito in Egitto, portato da un ambasciatore persiano che volle insegnarlo anche al Faraone. Questi, entusiasta del gioco, al termine della partita, per testimoniare la propria gratitudine, invitò l’ambasciatore ad esprimere un desiderio qualsiasi che sarebbe stato certamente esaudito. L’interpellato rispose che voleva del grano: un chicco sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così continuando e raddoppiando, fino alla sessantaquattresima casella. “Una cosa da nulla” proclamò il Faraone, stupito che la richiesta fosse così misera, e diede ordine al Gran Tesoriere di provvedere. Dopo oltre una settimana il funzionario, che ne frattempo aveva tentato di fare i conti, si presentò dicendo: “Maestà, per pagare l’ambasciatore non solo non è sufficiente il raccolto annuale dell’Egitto, non lo è neppure quello del mondo intero, e neppure i raccolti di dieci anni di tutto il mondo sono sufficienti”. La storia non dice come rimase il Faraone a tale notizia, ma si suppone piuttosto male; se anche qualcuno fosse incredulo, lo invitiamo a fare le operazioni. Con le moderne macchine calcolatrici potrà constatare, in breve tempo, che il funzionario aveva detto la pura verità. Questa storia contribuisce ad arricchire di mistero  il gioco degli scacchi. Proviamo a capire perché il funzionario del Faraone diceva una cosa esatta. Il numero di chicchi che il Faraone avrebbe dovuto dare all'ambasciatore persiano è il seguente:

18.446.744.073.709.551.615

ossia quasi 18.5 miliardi di miliardi di chicchi!
Per renderci conto di quanto grande sia questo numero, ricordiamo che la produzione mondiale di grano nel 1993 è stata di 5640,6 milioni di quintali e nel 1994 di 5279,8 milioni di quintali (fonte: Calendario Atlante De Agostini 1997). Assumiamo, per eccesso, che la produzione mondiale sia di 6000 milioni di quintali ovvero

produzione mondiale di grano = 600 milioni di tonnellate.

Per difetto assumiamo che ci vogliano 10 chicchi per fare un grammo e che il numero di chicchi sia 18 miliardi di miliardi. Allora il peso dei chicchi che il Faraone avrebbe dovuto consegnare all'ambasciatore persiano vale

peso di 18 miliardi di miliardi di chicchi = 1.800.000 milioni di tonnellate

ovvero la produzione mondiale di grano di ben tremila anni!