LA PERCENTUALE

Lasciamo spiegare lui...


                     

RAPPORTI E PROPORZIONI

Due  video semplice per ripassare i concetti principali
     
                     

                     

LE PROPORZIONI E GLI SCHERZI

Un modo divertente e simpatico per ripassare le proporzioni:
  http://www.lanostra-matematica.org/2014/03/le-proporzioni-e-lo-scherzo-ferrari.htm

RAPPORTI E PROPORZIONI

Per il ripasso: qualche esercizio su rapporti e proporzioni ed uno schema 

PROPORZIONI E PERCENTUALI

Ecco un gioco che ho trovato sul blog " Osmosi delle idee" per abbinare la percentuale con la frazione e l'immagine corrispondente.
Mi sembra che siano carino e che aiuti a comprendere l'equivalenza  fra frazione e percentuale, per chi avesse bisogno di un ripasso.
Bisogna essere un po' veloci ma è qui il bello! Cliccare sull'immagine.

BICICLETTA: MISURE RAPPORTI PROPORZIONI

Sai come funziona una bicicletta?

E un triciclo? E un velocipede?

Quali di questi tre si possono considerare come mezzi di trasporto?

Perché i velocipedi avevano una così strana struttura? E perché non si usano più?

Chiedilo alla IIC !!!

Misure, rapporti e proporzioni nella bicicletta

Abbiamo cercato di capire come funziona una bicicletta, un mezzo di trasporto ad alto rendimento, non inquinante, semplice ed economico.

Poi abbiamo cercato di confrontare questo veicolo con due suoi parenti del passato, uno, il triciclo, del passato personale,  di quando eravamo bimbi, e uno del passato storico, il velocipede (XIX secolo, circa)

Avevamo già studiato i rapporti come numeri e i rapporti tra grandezze omogenee e non omogenee; sapevamo già scrivere i numeri razionali come frazioni, come rapporti e come numeri decimali.

Avevamo visto come si ricava la misura della lunghezza della circonferenza, cioè:
Circonferenza = diametro x pigreco, oppure rettificando la circonferenza.

Come abbiamo fatto la nostra indagine sulla bici?

Prima di tutto ci siamo procurati i materiali necessari, tutte cose facili da trovare, tranne una (indovina quale!)

• un triciclo (anzi, due !!)
• una bicicletta senza cambio 
• un velocipede. 
• un doppio metro da muratore
• qualche gesso colorato
• materiali per prendere appunti 
• qualche calcolatrice

Le grandezze da misurare e correlare sono tre:

• numero dei giri dei pedali
• numero dei giri della ruota
• distanza percorsa

Abbiamo  considerato due rapporti: 

n° giri ruota (motrice) : n° giri pedale

distanza percorsa : n° giri pedale

In pratica calcolare i due rapporti diventa molto più facile considerando il secondo termine uguale a uno. La domanda è diventata: ”Quanti giri compie la ruota per ogni giro dei pedali?” e poi: “Quanta strada percorre con un giro di pedale?”

MA !!!..........

nel triciclo….

….i pedali sono "attaccati alla ruota” e quindi ad ogni giro dei pedali, anche la ruota ne fa uno, ovviamente. In pratica il primo rapporto è sempre 1. 

Abbiamo fatto un segno con il gesso sulla ruota motrice e sul pavimento del cortile, nel punto di tangenza, e abbiamo fatto fare un giro di pedale a un coraggioso volontario.

Alla fine del giro, abbiamo segnato sul pavimento il nuovo punto di tangenza e abbiamo misurato la distanza percorsa.

Abbiamo misurato il diametro della ruota e abbiamo verificato che

 distanza percorsa con un giro di pedali = diametro x pigreco

Abbiamo capito subito che questa distanza è modestissima e esclude il triciclo dai mezzi di trasporto, è solo un bel giocattolo.

Il velocipede 


Naturalmente nessuno aveva un velocipede.

Ma un disegno basta per capire che con questo mezzo si era tentato proprio di superare il limite del triciclo dei bimbi: avere una circonferenza più grande possibile per aumentare il rapporto

 distanza percorsa/ n°  giri dei pedali 

cioè per fare più strada ad ogni pedalata.

Calcolando in classe quanta strada veniva percorsa con ruote aventi raggi di 60cm, 70cm, 80cm, 90cm, 100cm, 110cm…. si ottengono ovviamente risultati ben diversi da quelli del triciclo….. il velocipede era un mezzo di trasporto, anche se un po’ difficile da usare.

Nella bicicletta

Le cose si complicano parecchio…

Abbiamo lavorato, sempre in cortile,  come sul triciclo, facendo un segno sia sulla ruota che sul pavimento nel punto di tangenza, misurando nel modo più accurato possibile un giro completo dei .pedali. La complicazione sta nel fatto che la bicicletta da ferma non sta in equilibrio… quindi occorrono due ragazzi robusti per reggere il pedalatore.

rocchetto e corona 

Sorpresa: con un giro di pedali la ruota compie molto più di un giro.

Abbiamo misurato la distanza percorsa con un giro di pedali e poi abbiamo cercato di capire qualcosa…

Abbiamo osservato  catena, corona e rocchetto, per vedere come viene trasmesso il  movimento attraverso l’ingranaggio. 

Abbiamo misurato le circonferenze di corona e rocchetto adoperando come unità di misura i denti che ingranano sulla catena

Abbiamo calcolato il rapporto tra corona e rocchetto (ma sai che nel gergo del ciclismo sportivo si parla proprio di rapporti?)

A questo punto si scopre che il rapporto corona : rocchetto è molto vicino al rapporto

distanza percorsa con una pedalata : circonferenza.

Pretendere che i due rapporti siano effettivamente identici è aspettarsi troppo da misurazioni così difficili e abbiamo accettato una certa approssimazione

Alla fine abbiamo capito che la distanza p, percorsa con un giro di pedale, è

p =  pigreco x diametro x (corona/rocchetto)

Allora basta aumentare il rapporto corona / rocchetto per avere tantissima strada percorsa con una pedalata…. Basterebbe inventare una bicicletta con una enorme corona e un piccolissimo rocchetto….. fantastico !

L’idea è corretta da un punto di vista aritmetico, ma poi non funzionerebbe….. andrebbe, sì, a velocità pazzesche, ben oltre i 100 chilometri orari, ma  nessuno avrebbe la forza per  usarla!

PROBLEMI DI RIPARTIZIONE INVERSA

In questo tipo di ripartizione il numero da dividere viene suddiviso in parti INVERSAMENTE PROPORZIONALI ad UNA SOLA GRANDEZZA.

Prendo questo esempio da:   

http://www.lezionidimatematica.net/Corrispondenze_Proporzionalit%C3%A0/lezioni/corpro_lezione_21.htm

Un imprenditore, a fine anno, destina un premio di 2.000 euro alle sue tre segretarie da ripartire in proporzione inversa al numero di giorni di assenza di ognuna.

Determinare il premio spettante a ciascuna segretaria sapendo che la prima ha effettuato 4 giorni di assenza nel corso dell'anno, la seconda ha effettuato 10 giorni di assenza e la terza ha effettuato 8 giorni di assenza.

La grandezza da ripartire, che chiamiamo S, è il premio. Quindi:

S = 2.000.

Il premio va ripartito tra le tre segretarie in maniera inversamente proporzionale al numero di giorni di assenza.

Quindi ci troviamo di fronte ad un PROBLEMA di RIPARTIZIONE SEMPLICE INVERSA. Infatti il premio viene ripartito in parti proporzionali ad una sola grandezza: i giorni di assenza. Inoltre esso deve essere suddiviso in parti inversamente proporzionali alle assenze.

Vediamo come possiamo risolvere questo tipo di problema.

Dobbiamo calcolare tre numeri, che chiamiamo x,  y e z, tali che la loro somma sia pari a 2.000 e che siano inversamente proporzionali rispettivamente a 4, a 10 e a 8.

Quindi possiamo scrivere:

x + y + z = 2.000.

Premio x y z
assenze 4 10 8


Se due grandezze sono inversamente proporzionali non è costante il loro rapporto ma il loro prodotto, per cui si può scrivere che:

x : 1/4 = y : 1/10 = z : 1/8.

E adesso con un po' di pazienza si può risolvere il tutto!

Un po' di problemi sulla ripartizione diretta ed inversa li trovate qui!

PER LA TERZA ...RIPASSO PROPORZIONI

Visto ( purtroppoooooooooooo)  che tanti di voi hanno ancora bisogno di chiarirsi le idee, andate qui per un ripasso non troppo pesante, anzi piacevole,  sulle  proporzioni e sulla proporzionalità diretta.
Guardate  prima la teoria e poi gli esercizi, naturalmente.
Date un'occhiata anche a tutto il sito e poi ditemi cosa ne pensate.