SEZIONE AUREA E "DIVINA PROPORZIONE"

                                       

Dato un segmento (AC), si ottiene una sezione aurea quando il tratto più corto (BC) sta al tratto più lungo (AB) come il tratto più lungo (AB) sta al segmento intero (AC).

In sintesi la proporzione è così espressa: 

BC: AB=AB: AC

che corrisponde ad un rapporto uguale 1,618034...detto rapporto aureo o phi 

Ecco anche  dove appare la sezione aurea in geometria. Guardate il  pentagono qua sotto:

Forse non ci crederete, ma il rapporto fra una qualsiasi diagonale ed il lato è proprio uguale al numero aureo, così come lo è anche il rapporto fra le parti in blu e quella in rosso della diagonale. Si potrebbe andare avanti all'infinito, costruendo sempre altre diagonali nel pentagono che viene fuori al centro, ed i due rapporti rimarrebbero sempre uguali al numero aureo.

Cosa c'entra la sezione aurea con i numeri di Fibonacci? Il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, con l'alzarsi dei numeri, tende ad avvicinarsi  sempre di più al coefficiente aureo.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.......

A partire da tale successione, se  formiamo una serie di tipo frazionario, emergono i seguenti rapporti:

 1/1;  2/1; 3/2;  5/3;  8/5;  13/8;  21/13;  34/21;  55/34,  89/55;  144/89 ecc.

  i cui valori decimali approssimati sono:

1; 2; 1,5; 1, 666;  1,6;  1,625;  1,615;  1, 619;  1, 617;  1, 6181; 1, 6180 ecc. 

L' angolo aureo

Quest’angolo è  prossimo a 137,5°, valore che si ottiene dividendo l'angolo giro in due parti: 360°/Φ=222,5° e (360° - 222,5°)=137,5°

E il rettangolo rettangolo aureo che cos'è?

Un rettangolo si dice aureo quando l'altezza è la sezione aurea della base.

Consideriamo quindi un rettangolo aureo e supponiamo che a, b siano rispettivamente la base e l'altezza del nostro rettangolo; diremo che questo è aureo se sussiste la proporzione:

 a : b = b : (a - b) 

Il rettangolo aureo si può anche definire come quel rettangolo i cui lati sono in rapporto tra loro pari al rapporto 1.618... 

Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo (con il solo ausilio di riga e compasso) è stato presentato per la prima volta da Euclide.

Si costruisce prima il quadrato di lato AD
Poi si punta col compasso dal punto medio A’ fino in E  per trovare C.
Ed ecco trovato il lato lungo DC.

Il rettangolo aureo si può anche costruire secondo la successione numerica di Fibonacci, accostando tra di loro dei quadrati che hanno per lato il valore numerico della successione.Tracciando un arco di circonferenza all’interno di ciascun quadrato si ottiene la spirale aurea. 

Molti artisti e matematici del Rinascimento ( Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli - tanto per citarne alcuni) rimasero molto affascinati dal rettangolo aureo e dal rapporto da esso sotteso.
Allora esso era conosciuto come divina proportione e veniva considerato quasi la chiave mistica dell’armonia nelle arti e nelle scienze.
" De divina proportione" è infatti il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da sessanta disegni di Leonardo da Vinci.
Questo libro, pubblicato nel 1509, influenzò notevolmente gli artisti ed architetti del tempo e di molte epoche successive.
In questo trattato Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura, scienza e natura. Il rapporto aureo introdotto fu definito divino perché in possesso di diversi caratteri che appartengono alla divinità: è unico nel suo genere, è trino perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è irrazionale, è invariabile.

Leonardo cercò di infondere nei suoi dipinti un sentimento di ordine proprio utilizzando il rapporto aureo. In particolare Da Vinci incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.
Per una bella raccolta di immagini in natura della sezione aurea, andare qui.
Anche noi abbiamo già parlato di Fibonacci e di spirali qui e qui