LA RADICE QUADRATA DI DUE E' UN NUMERO IRRAZIONALE

In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione non termina mai e che non hanno un periodo 

La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione (vedi la dimostrazione sotto). Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

                       

                   

L'AGO DEL CONTE DI BUFFON E IL CALCOLO DEL PI GRECO

Ecco un nuovo metodo di calcolare  il valore del  pi greco

Su tutti i libri di scuola media viene spiegato, in modo più o meno preciso, come si è arrivati a conoscere il  suo valore. 

Il "trucco" (chiediamo scusa ai matematici per questa parolaccia) consiste nel calcolare il rapporto

                                                            perimetro : (2 x apotema)

 in poligoni regolari di 4, 5, 6, 7.....10,.....100,......1000..... lati

Alla fine, superati poligoni "insoliti" come il centagono e il millagono, si ottiene il "quasi-infinitagono" cioé il "quasi cerchio"

E, con tutti i calcoli, piuttosto complessi, si ricava un valore di 3, 141592..............................................., che come sapete è un numero irrazionale.

Lo strano metodo che vi vogliamo presentare oggi invece parte da una situazione completamente diversa, un fascio di rette parallele, tutte alla stessa distanza t tra loro, e dal calcolo delle probabilità. 

Nel 1777 il matematico francese George-Louis Leclerc, conte di Buffon (1707-1788) propose e risolse una spinosa questione nota (non a caso) come "problema dell'ago di Buffon".

Se lanciamo a caso un ago lungo l con l'unico obbligo che sia  t< l, abbiamo una certa probabilità che l'ago cada intersecando una retta (a) oppure no (b)

Se  l è la lunghezza dell'ago, t la distanza tra due linee tracciate sul piano e p è la probabilità che l'ago intersechi una delle linee), ricaviamo per π   il valore

            

che, anche se non è esattamente π, è comunque una buona approssimazione, considerando che più lanci si effettuano, più il risultato si avvicina a π .
Un test di questo genere venne eseguito dal matematico Mario Lazzarini nel 1901.
Sembra che egli costruì una macchina apposita per lasciar cadere un bastoncino su un foglio ben 3408 volte!
Ebbene, il bastoncino incrociò una delle righe 1808 volte.
Tenendo presente che nel suddetto test il rapporto l/t era di 5/6, Lazzarini arrivò a calcolare il valore del π:

il quale è incredibilmente corretto fino a 6 cifre decimali. Guardate il filmato e se volete provare, buon divertimento!                                         

                                  

                    

RADICE QUADRATA DI DUE E' UN NUMERO IRRAZIONALE

Per Pitagora "tutto era numero": il numero era  la chiave per svelare i segreti dell'universo. E per Pitagora i numeri erano tutti esprimibili attraverso semplici e "rassicuranti" rapporti matematici, frazioni di numeri interi.

Ma un giorno questo universo fatto di solide certezze matematiche vacillò fin quasi a crollare, sotto il peso di una nuova, terribile scoperta. Qualcuno (probabilmente Ippaso di Metaponto) si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

Fu un vero e proprio terremoto: si aprivano nell'universo dei numeri "buchi neri" impensabili: i numeri irrazionali, la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc.) non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Come prima conseguenza della scoperta, i Pitagorici furono costretti ad ammettere che il punto non ha dimensioni, contrariamente a quanto avevano sempre creduto e affermato: essi infatti ritenevano che i punti avessero una dimensione, fossero molto piccoli e tutti uguali, ma non nulli. Ora invece risultava evidente che un segmento e in generale una figura geometrica sono costituiti da infiniti punti di dimensione nulla. Infatti, nel caso in cui un segmento fosse costituito da un numero finito di punti, ne risulterebbe, ad esempio, che il lato del quadrato conterrebbe un numero intero di punti, e corrisponderebbe quindi ad x volte la dimensione di un punto. La diagonale, a sua volta, sarebbe y volte la dimensione del punto.

Pitagora censurò immediatamente la scoperta e l'incauto scopritore fu messo a tacere. I Pitagorici continuarono a sviluppare e diffondere le loro teorie cercando di tenere nascosta questa verità, nella speranza che prima o poi si potesse trovare una soluzione.

Ma qualcuno parlò.

Il “traditore” fu Ippaso di Metaponto, proprio colui che, forse, questa incommensurabilità l'aveva scoperta.

La reazione dei pitagorici fu durissima: Ippaso fu bandito e gli fu costruito, quantunque ancora in vita, un monumento funebre. Morì poco tempo dopo vittima di un naufragio, secondo la leggenda, "per volere di Zeus adirato": sulla sua morte sorse ben presto una diceria che ne fa un vero e proprio "giallo" dell'antichità. Si disse infatti che il suo assassinio fosse stato commissionato da Pitagora.

In questo video è riportata la dimostrazione per assurdo che la radice quadrata di 2 non può essere un numero razionale, forse un po' difficile per un alunno di seconda media, ma non impossibile da capire. 

Vediamo:

                

TEST DI AUTOVALUTAZIONE SUI RADICALI

Un bel ripassino appena si torna dalle vacanze , per le seconde!

LA STORIA DEL PI GRECO

Il simbolo che indica il pi greco nasce nel 1706 dalla mente di William Jones. La notazione, che diventò comune solo dopo che fu utilizzata da Eulero, è stata scelta perchè è la stessa lettera con cui iniziano i nomi greci Perimetro e Pitagora.

Tuttavia, l’uomo ha scoperto il Pi greco più di 20.000 anni fa. Infatti, già i Babilonesi consideravano una circonferenza come 3 volte il diametro e per trovare la circonferenza iscritta in un esagono regolare usavano un valore di 3,125. Anche gli Egizi conoscevano l’esistenza di questa costante e la consideravano 3,16.

Per trovare le prime tre cifre decimali esatte bisogna attendere Archimede di Siracusa che nel terzo secolo a.C., trovò l’approssimazione Pi Greco= 3,14163. Per trovare questo risultato notò che ogni circonferenza poteva essere espressa con un valore compreso tra un poligono iscritto ad essa e uno, di ugual numero di lati, circoscritto ad essa. Operando con poligoni di 96 lati ottenne che il valore di pi era compreso tra 223/71 e 22/7. 

Le prime sei cifre esatte vengono calcolate dal matematico cinese Liu Hui nel 263 a.C. 

Iniziò una vera e propria competizione per cercare di trovare il più alto numero di cifre.

Il matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi,nel V secolo, diede due approssimazioni alla settima cifra decimale del pi greco: 355/113 e 22/7.

Un matematico ed astronomo iraniano (1350-1439) ne calcolò le prime 9.

Nel 1600 il matematico tedesco Ludolph van Ceulen calcolò i primi 35 decimali.

Il matematico sloveno Jurij Vega (1789) calcolò le prime 140 cifre decimali, di cui le prime 137 erano effettivamente corrette. Egli mantenne il record mondiale di cifre calcolate per oltre 52 anni, fin quando, nel 1841, William Rutherford calcolò ben 208 cifre decimali di cui solo le prime 152 erano corrette.

Nel 1947 D.F.Ferguson calcolò 620 cifre decimali, lo stesso anno calcolò 710 cifre decimali, poi ancora 808 cifre decimali utilizzando sempre una calcolatrice meccanica da tavolo.

Nel 1949 George Rietwiesner, John von Neumann e Nicholas Constantine Metropolis calcolarono 2037 cifre.

Da questo momento in poi tutti i calcoli delle cifre di pi greco verranno sempre effettuati utilizzando calcolatori elettronici.

1958 - 10 000 cifre calcolate in un'ora e 40 minuti

1961 – John Wrench e Daniel Shanks: 100 265 cifre in 8 ore e 43 minuti

1967 – "Paris Data Processing Center": 500 000 cifre

1973 – Jean Guilloud e M. Bouyer: 1 000 000 cifre calcolate in 23 ore e 18 minuti

1989 - Yasumasa Kanada e Yoskiaki Tamura: 1 073 740 799 cifre (1,07 miliardi)

1997 – Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura: 51 539 607 552 cifre (51,5 miliardi) calcolate in poco più di 29 ore

2002 – Yasumasa Kanada: 1241,1 miliardi di cifre calcolate in 600 ore (25 giorni) con un Hitachi SR8000/MPP a 128 nodi

2009 - Fabrice Bellard: 2 699 999 990 000 di cifre (quasi 3000 miliardi) in 121 giorni di calcolo totali

2010 - Il record mondiale è quello di Shigeru Kondo che ha calcolato 5 000 000 000 000 di cifre (5 000 miliardi) in 90 giorni di calcolo.

I tuoi dai bancari possono essere trovati nel Pi Greco

Il Pi Greco è un numero irrazionale, il che significa che la sua rappresentazione decimale continua senza fine. questo significa anche che ogni numero possibile che vi venga in mente è nascosto da qualche parte nel Pi Greco: date di nascita, numeri di telefono, conto bancario. Potremmo anche convertire numeri in lettere e trovarci dentro la Bibbia, un'opera completa di Shakespeare, o ogni libro mai scritto. E' anche possibile cercare ogni stringa di numeri fino a 120 caratteri all'interno delle prime 200 milioni di cifre del Pi Greco. Per farlo, andate qui: Pi-Search Results.

Ecco qui un simpatico video sulla storia del pi greco,vincitore del concorso " Giochiamo con Pi greco "bandito dal Politecnico di Milano, nella categoria "Videoclip"

Questo video, come il film The Artist, si ispira al cinema muto; la musica è di Scott Joplin, The Entertainer, riadattata per durare 3 minuti e 14 secondi.

          

LA RADICE QUADRATA E I NUMERI IRRAZIONALI

Abbiamo visto che :

•  Addizione e Moltiplicazione di numeri naturali sono due  operazioni che danno sempre come risultato altri numeri naturali.

• La Sottrazione può dare come risultato anche  numeri negativi: ecco quindi  i numeri interi con segno, che comprendono i numeri naturali. L' operazione di somma, sottrazione o moltiplicazione di numeri interi dà come risultato un altro numero intero.

• La Divisione dà luogo ai numeri razionali, cioè quei numeri che presentano cifre decimali dopo la virgola in numero finito o infinito ; in quest'ultimo caso i decimali sono sempre periodici. I numeri razionali comprendono  i numeri interi, nel caso in cui il dividendo sia multiplo del divisore. 

Si potrebbe pensare pensare i numeri razionali rappresentino  tutti i numeri possibili e immaginabili... ma non è così!

Infatti....dato un numero qualsiasi, la sua radice quadrata è quel numero che, moltiplicato per se stesso, dà il numero dato (radicando).

Queste operazioni danno come risultati dei numeri razionali? La risposta è no.

Ammettiamo che la radice ennesima di un numero naturale a possa essere espresso da una frazione fra numeri naturali (interi) p e q, e che questa frazione sia ridotta ai minimi termini (p e q non hanno fattori in comune). Elevando alla potenza n, sparisce il segno di radice, mentre a destra abbiamo p e q elevati all'ennesima potenza: visto che p e q non avevano fattori in comune, dopo quest'operazione continuano a non averne. Rigirando l'equazione si ottiene (a destra) che p alla n deve essere multiplo di q alla n; ma dato che p e q sono primi fra loro, l'espressione può essere vera solo se q vale 1, nel qual caso la frazione p / q è un numero intero. Conclusione: la radice ennesima di un numero qualsiasi può dare come risultato solo un numero intero, oppure un numero irrazionale.

L'esistenza dei numeri irrazionali è nota dalla più remota antichità: già i pitagorici avevano scoperto che la radice quadrata di due (che da un punto di vista geometrico rappresenta il rapporto fra diagonale e lato di un quadrato) non poteva essere espressa sotto forma di frazione. Quindi le radici ampliano ulteriormente il concetto di numero, aggiungendo ai naturali, interi (con segno) e razionali, anche i numeri irrazionali.

I NUMERI IRRAZIONALI E COME USARLI

"Irrazionale", in matematica, è un numero che non può essere scritto sotto forma di frazione. Quando può capitare di imbattersi in questi numeri? Quali problemi pratici possono derivare dalla loro applicazione pratica? Da "Treccani Channel", una chiara  e piacevole spiegazione.

I NUMERI REALI SULLA RETTA

Da Treccani Channel, una chiara spiegazione sui numeri reali e sulla loro disposizione sulla infinita retta dei numeri

I NUMERI REALI

L'insieme dei numeri reali ( naturali, razionali, irrazionali, relativi  ) in una simpatica presentazione, per gli alunni di terza.

http://prezi.com/n-8ibkiw881r/?utm_campaign=share&utm_medium=copy&rc=ex0share

RAPPORTO CIRCONFERENZA DIAMETRO

Come si può vedere da questa applet di geogebra il rapporto tra ogni circonferenza ed il rispettivo diametro è sempre costante, cioè:

C /d = π e quindi C = π * d

Questo significa che la misura della circonferenza è circa tre volte la misura del suo diametro.

Qual è il valore di π? Se prendessimo una circonferenza di raggio 0,5 (cm o m ecc.) e immaginassimo di tagliarla in un punto e di stenderla, il segmento che otterremmo sarebbe un segmento di lunghezza π:

C = π * d= 2 π r = 2 * π *  0,5 = π

In pratica, tuttavia,  non sarà mai possibile trovare un segmento esattamente lungo π. 

Un discreto valore approssimato di π è 3,14 (approssimato al centesimo )

CHIOCCIOLA DEGLI IRRAZIONALI IIB

Ecco la chiocciola degli irrazionali costruita quest'anno con geogebra dagli alunni della IIB. Alcuni hanno creato un nuovo strumento per ripetere la costruzione del triangolo rettangolo. Bravi!
Tutte le spirali erano molto belle, anche se ho scelto solo queste quattro.

                                                                   Alexander Manasiev, con macro

Laura Luciano 

Cremonesi Laura ( con macro)

Moretti Eleonora

ALLA SCOPERTA DELLA SPIRALE

Con il nome Teodoro di Cirene vengono indicati:
Teodoro di Cirene (morto nel 310) - vescovo e santo martire, celebrato il 4 luglio
Teodoro di Cirene (IV-III secolo a.C.) - detto "l'ateo", esponente della Scuola cirenaica
Teodoro di Cirene (V secolo a.C.) - matematico della Scuola pitagorica
Il nostro Teodoro è stato un matematico greco antico. Noto per i suoi contributi alla teoria delle grandezze irrazionali, fece parte della Scuola pitagorica.
Sappiamo dal Teeteto, dialogo di Platone, che Teodoro insegnò matematica allo stesso Platone e a Teeteto. Infatti nel dialogo si ricorda come avesse dimostrato che le radici dei numeri compresi fra √3 e di √17 (scongiuro!), esclusi ovviamente 9 e 16, fossero irrazionali, cioè non esprimibili come rapporto di interi. Sappiamo anche che introdusse un metodo per costruire geometricamente la radice quadrata di un qualsiaisi numero esistente, anche se non molto utilizzato per motivi pratici: la cosiddetta spirale di Teodoro, qui costruita con geogebra.
Che cosa vi ricorda? Avremo modo di parlare ancora molto  delle spirali , specialmente con voi di  seconda!