SEZIONE AUREA E "DIVINA PROPORZIONE"

                                       

Dato un segmento (AC), si ottiene una sezione aurea quando il tratto più corto (BC) sta al tratto più lungo (AB) come il tratto più lungo (AB) sta al segmento intero (AC).

In sintesi la proporzione è così espressa: 

BC: AB=AB: AC

che corrisponde ad un rapporto uguale 1,618034...detto rapporto aureo o phi 

Ecco anche  dove appare la sezione aurea in geometria. Guardate il  pentagono qua sotto:

Forse non ci crederete, ma il rapporto fra una qualsiasi diagonale ed il lato è proprio uguale al numero aureo, così come lo è anche il rapporto fra le parti in blu e quella in rosso della diagonale. Si potrebbe andare avanti all'infinito, costruendo sempre altre diagonali nel pentagono che viene fuori al centro, ed i due rapporti rimarrebbero sempre uguali al numero aureo.

Cosa c'entra la sezione aurea con i numeri di Fibonacci? Il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, con l'alzarsi dei numeri, tende ad avvicinarsi  sempre di più al coefficiente aureo.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.......

A partire da tale successione, se  formiamo una serie di tipo frazionario, emergono i seguenti rapporti:

 1/1;  2/1; 3/2;  5/3;  8/5;  13/8;  21/13;  34/21;  55/34,  89/55;  144/89 ecc.

  i cui valori decimali approssimati sono:

1; 2; 1,5; 1, 666;  1,6;  1,625;  1,615;  1, 619;  1, 617;  1, 6181; 1, 6180 ecc. 

L' angolo aureo

Quest’angolo è  prossimo a 137,5°, valore che si ottiene dividendo l'angolo giro in due parti: 360°/Φ=222,5° e (360° - 222,5°)=137,5°

E il rettangolo rettangolo aureo che cos'è?

Un rettangolo si dice aureo quando l'altezza è la sezione aurea della base.

Consideriamo quindi un rettangolo aureo e supponiamo che a, b siano rispettivamente la base e l'altezza del nostro rettangolo; diremo che questo è aureo se sussiste la proporzione:

 a : b = b : (a - b) 

Il rettangolo aureo si può anche definire come quel rettangolo i cui lati sono in rapporto tra loro pari al rapporto 1.618... 

Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo (con il solo ausilio di riga e compasso) è stato presentato per la prima volta da Euclide.

Si costruisce prima il quadrato di lato AD
Poi si punta col compasso dal punto medio A’ fino in E  per trovare C.
Ed ecco trovato il lato lungo DC.

Il rettangolo aureo si può anche costruire secondo la successione numerica di Fibonacci, accostando tra di loro dei quadrati che hanno per lato il valore numerico della successione.Tracciando un arco di circonferenza all’interno di ciascun quadrato si ottiene la spirale aurea. 

Molti artisti e matematici del Rinascimento ( Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli - tanto per citarne alcuni) rimasero molto affascinati dal rettangolo aureo e dal rapporto da esso sotteso.
Allora esso era conosciuto come divina proportione e veniva considerato quasi la chiave mistica dell’armonia nelle arti e nelle scienze.
" De divina proportione" è infatti il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da sessanta disegni di Leonardo da Vinci.
Questo libro, pubblicato nel 1509, influenzò notevolmente gli artisti ed architetti del tempo e di molte epoche successive.
In questo trattato Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura, scienza e natura. Il rapporto aureo introdotto fu definito divino perché in possesso di diversi caratteri che appartengono alla divinità: è unico nel suo genere, è trino perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è irrazionale, è invariabile.

Leonardo cercò di infondere nei suoi dipinti un sentimento di ordine proprio utilizzando il rapporto aureo. In particolare Da Vinci incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.
Per una bella raccolta di immagini in natura della sezione aurea, andare qui.
Anche noi abbiamo già parlato di Fibonacci e di spirali qui e qui

CONIGLI, NUMERI, SPIRALI

Nel 1223 a Pisa, l'imperatore Federico II di Svevia, fu ben felice di assistere a un singolare torneo tra abacisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara infatti si dimostrò che col metodo posizionale indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco.

Il test era il seguente: "Quante coppie di conigli si ottengono in un anno, supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?".

Un pisano, Leonardo, detto Bigollo, conosciuto anche col nome paterno di "fillio Bonacci" o Fibonacci, vinse la gara. Figlio d'un borghese uso a trafficare nel Mediterraneo, Leonardo visse fin da piccolo nei paesi arabi e apprese i principi dell'algebra, il calcolo, dai maestri di Algeri, cui era stato affidato dal padre, esperto computista.
Leonardo diede al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato.

Supponiamo di avere una coppia di conigli (maschio e femmina). I conigli sono in grado di riprodursi all'età di un mese per cui alla fine del suo secondo mese una femmina può produrre un'altra coppia di conigli. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai e che la femmina produca sempre una nuova coppia (un maschio ed una femmina) ogni mese dal secondo mese in poi.

Alla fine del primo mese si ha la prima coppia ed una coppia da questa generata; alla fine del secondo mese si aggiunge una terza coppia, ma vi sono due coppie in più, perché anche la seconda coppia ha cominciato a generare, portando il conto a 5 coppie, e così via.

Il ragionamento prosegue con la seguente  progressione:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393..

Con questo stratagemma fu facile per il Fibonacci trovare la risposta esatta.


I numeri di Fibonacci hanno una innumerevole gamma di applicazione, soprattutto in matematica ma anche in altre aree, quali la biologia, l'architettura, l'economia e l'informatica.
In natura molti fenomeni, come la crescita delle foglie delle piante, la ramificazione degli alberi (o la disposizione della scorza dell'ananas) sono legati ai numeri di Fibonacci.

Prendiamo ad esempio la ramificazione degli alberi.
Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare.
Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 1 ancora, al terzo 2, al quarto 3, al quinto 5, al sesto 8 e così via.
Ma anche le orbite dei pianeti hanno diametri proporzionali ai numeri di Fibonacci…etc
Nei frattali di Mandelbrot, governati dalla proprietà dell'autosomiglianza, si ritrovano ancora i numeri di Fibonacci ('autosomiglianza difatti è governata da una regola o formula ripetibile, così come la successione di Fibonacci).
I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione di particolari algoritmi.
E che dire della musica?
I 13 tasti delle ottave, distinti in 8 bianchi e 5 neri, a loro volta divisi in gruppi da 2 e 3 tasti ciascuno.
2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci. Si possono fare ancora tantissimi esempi ( spirali nelle pigne, nei fiori, nella frutta.....)
Johannes Kepler notò poi (e qui arriva il bello) che facendo il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicina sempre più a 1,61803, valore noto anche con il nome di rapporto aureo.

8 / 5 --> 1.6
13 / 8 --> 1.625
21 / 13 --> 1.6153
34 / 21 --> 1.6190
55 / 34 --> 1.6176
89 / 55 --> 1.6181

Il rapporto aureo 1.618...  ( numero irrazionale!) è strettamente legato ai numeri di Fibonacci.

In un prossimo post vedremo che cos'è il rapporto aureo e qual è il segreto della bellezza!!!!!!!!!!!!!

Frattali

ALLA SCOPERTA DELLA SPIRALE

Con il nome Teodoro di Cirene vengono indicati:
Teodoro di Cirene (morto nel 310) - vescovo e santo martire, celebrato il 4 luglio
Teodoro di Cirene (IV-III secolo a.C.) - detto "l'ateo", esponente della Scuola cirenaica
Teodoro di Cirene (V secolo a.C.) - matematico della Scuola pitagorica
Il nostro Teodoro è stato un matematico greco antico. Noto per i suoi contributi alla teoria delle grandezze irrazionali, fece parte della Scuola pitagorica.
Sappiamo dal Teeteto, dialogo di Platone, che Teodoro insegnò matematica allo stesso Platone e a Teeteto. Infatti nel dialogo si ricorda come avesse dimostrato che le radici dei numeri compresi fra √3 e di √17 (scongiuro!), esclusi ovviamente 9 e 16, fossero irrazionali, cioè non esprimibili come rapporto di interi. Sappiamo anche che introdusse un metodo per costruire geometricamente la radice quadrata di un qualsiaisi numero esistente, anche se non molto utilizzato per motivi pratici: la cosiddetta spirale di Teodoro, qui costruita con geogebra.
Che cosa vi ricorda? Avremo modo di parlare ancora molto  delle spirali , specialmente con voi di  seconda!