TERNE PITAGORICHE

Le terne di numeri interi che rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo sono chiamate terne pitagoriche.

Se i tre numeri interi non hanno un fattore in comune, cioè sono primi fra loro, allora diremo che formano una terna pitagorica primitiva. Ad esempio le terne pitagoriche

3, 4, 5

5, 12, 13

8, 15, 17

sono primitive perché in ogni terna i tre numeri sono primi tra loro.

Naturalmente, da ogni terna pitagorica primitiva, si possono ottenere infinite terne pitagoriche derivate moltiplicando i tre numeri per uno stesso fattore.

Esiste una regola per individuare tali terne?

Anche Pitagora si era posto queste due domande ed a lui, è stata attribuita una regola per individuare infiniti triangoli rettangoli non simili aventi le misure dei lati espresse da numeri interi.

Con questa regola i lati a, b, c dei triangoli rettangoli non simili si ottengono ponendo

a = m;     b = (m2 - 1)/2;         c = (m2 + 1)/2

dove m è un qualsiasi numero naturale, pari o dispari, dispari maggiore di 1.

Notiamo che:

se m è un numero DISPARI si ottengono terne primitive formate da NUMERI NATURALI;
se m è un numero PARI si ottengono terne primitive formate da NUMERI DECIMALI.

 Se analizziamo queste terne pitagoriche possiamo notare che:

- Le misure dei cateti sono una pari e l'altra dispari.
- Il valore del cateto pari è sempre un multiplo di 4.
- La differenza tra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del cateto pari è sempre uguale a 1.

Esiste anche un altro metodo per trovare terne pitagoriche:
Prendiamo due numeri e li chiamiamo r ed s ( con r maggiore di s)
I tre numeri della terna li chiameremo ancora a, b, c.
Ora scriviamo i tre procedimenti per trovare a, b, e c.
a = r² – s²
b = 2 x r x s
c = r² + s²

Se prendiamo due numeri, uno pari e uno dispari, otteniamo terne primitive, se invece sono entrambi pari o entrambi dispari sono derivate."

http://matematicamedie.blogspot.it/2008/10/costruzione-di-terne-pitagoriche.html

TEOREMA DI PITAGORA DA UN TRATTATO CINESE

I due quadrati grandi sono uguali, come pure i triangoli rettangoli gialli.
Perciò il quadrato blu è equivalente alla somma dei quadrati verdi.
Ma i quadrati verdi sono costruiti sui cateti mentre quello blu è costruito sull'ipotenusa.
Fatto!

LA RADICE QUADRATA DI DUE E' UN NUMERO IRRAZIONALE

In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione non termina mai e che non hanno un periodo 

La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione (vedi la dimostrazione sotto). Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

                       

                   

TEOREMA DI PITAGORA

Un video sull'applicazione del teorema di Pitagora al parallelogramma, al trapezio, al rombo


                    

RADICE QUADRATA DI DUE E' UN NUMERO IRRAZIONALE

Per Pitagora "tutto era numero": il numero era  la chiave per svelare i segreti dell'universo. E per Pitagora i numeri erano tutti esprimibili attraverso semplici e "rassicuranti" rapporti matematici, frazioni di numeri interi.

Ma un giorno questo universo fatto di solide certezze matematiche vacillò fin quasi a crollare, sotto il peso di una nuova, terribile scoperta. Qualcuno (probabilmente Ippaso di Metaponto) si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

Fu un vero e proprio terremoto: si aprivano nell'universo dei numeri "buchi neri" impensabili: i numeri irrazionali, la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc.) non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Come prima conseguenza della scoperta, i Pitagorici furono costretti ad ammettere che il punto non ha dimensioni, contrariamente a quanto avevano sempre creduto e affermato: essi infatti ritenevano che i punti avessero una dimensione, fossero molto piccoli e tutti uguali, ma non nulli. Ora invece risultava evidente che un segmento e in generale una figura geometrica sono costituiti da infiniti punti di dimensione nulla. Infatti, nel caso in cui un segmento fosse costituito da un numero finito di punti, ne risulterebbe, ad esempio, che il lato del quadrato conterrebbe un numero intero di punti, e corrisponderebbe quindi ad x volte la dimensione di un punto. La diagonale, a sua volta, sarebbe y volte la dimensione del punto.

Pitagora censurò immediatamente la scoperta e l'incauto scopritore fu messo a tacere. I Pitagorici continuarono a sviluppare e diffondere le loro teorie cercando di tenere nascosta questa verità, nella speranza che prima o poi si potesse trovare una soluzione.

Ma qualcuno parlò.

Il “traditore” fu Ippaso di Metaponto, proprio colui che, forse, questa incommensurabilità l'aveva scoperta.

La reazione dei pitagorici fu durissima: Ippaso fu bandito e gli fu costruito, quantunque ancora in vita, un monumento funebre. Morì poco tempo dopo vittima di un naufragio, secondo la leggenda, "per volere di Zeus adirato": sulla sua morte sorse ben presto una diceria che ne fa un vero e proprio "giallo" dell'antichità. Si disse infatti che il suo assassinio fosse stato commissionato da Pitagora.

In questo video è riportata la dimostrazione per assurdo che la radice quadrata di 2 non può essere un numero razionale, forse un po' difficile per un alunno di seconda media, ma non impossibile da capire. 

Vediamo:

                

IL TEOREMA DI PITAGORA

Solo nel triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti .

In questa applet di geogebra il triangolo è isoscele, due lati ( che poi saranno i cateti ) misurano 5 u, l'angolo tra essi compreso varia da 0°a 180°. In verde i quadrati costruiti su questi due lati, in rosso il quadrato la cui area varia. A sinistra in alto  sono riportati i valori delle aree, la somma delle aree dei due quadrati verdi è costante, cioè 50 u^2, da confrontare con il valore dell'area  del quadrato verde, variabile. 

PERIGAL E IL TEOREMA DI PITAGORA

Ecco un'altra dimostrazione del Teorema di Pitagora  attribuita al matematico e astronomo persiano Abu'l-Wafa verso la fine del X secolo d.C. e riscoperta dall'agente di cambio Henry Perigal pubblicata nel 1872. Essa si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, tagliandolo icon due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa. Si può ricomporre in maniera da incorporare anche  l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa. 

                                                               Clicca sull'immagine

Ci sono anche altre dimostrazioni, tra cui quella algebrica di Garfield, (Moreland Hills, 19 novembre 1831 – Long Branch, 19 settembre 1881) politico statunitense. È stato il 20º presidente degli Stati Uniti d'America. Il suo mandato è stato uno dei più brevi nella storia degli Stati Uniti.

TEOREMA DI PITAGORA

Raccomandato agli alunni di terza!

Non si può aver dimenticato il Teorema di Pitagora...

Tuttavia, se qualcuno ha ancora bisogno di un piccolo aiuto, ecco qui un breve ripasso:

             

Ed ora  un semplice test

         

Adesso non vi resta ora  che rispondere a questa domanda " che cos'è una terna pitagorica"?

                      E se il triangolo non è rettangolo?
                   
                         Guarda questa animazione: