ESERCIZI SULLA FRAZIONI

                                                 Un po' di esercizi extra!!!!!! Un bel ripasso!!

PRIMA MEDIA: PREPARAZIONE INVALSI 2

Ecco la prova a.s. 2010/2011 e la griglia di correzione, da utilizzare secondo le precedenti indicazioni.

Prova 2010/2011: 
http://www.engheben.it/prof/materiali/invalsi/invalsi_prima_media/2010_2011/invalsi_matematica_2010-2011_prima.pdf

Griglia di correzione:

http://www.engheben.it/prof/materiali/invalsi/invalsi_prima_media/2010_2011/griglia_correzione_invalsi_2010-2011_matematica_prima.pdf

PRIMA MEDIA: PREPARAZIONE INVALSI

Vi metto i link alla prova invalsi 1^ MEDIA a.s. 2009/ 2010,  ed anche la correzione guidata.
Risolvete  i quesiti ma se non ci riuscite, confrontate le risposte esatte che vi possono aiutare a capire i vostri errori e a facilitare la correzione e la discussione  in classe

 INVALSI 2009/2010: http://www.engheben.it/prof/materiali/invalsi/invalsi_prima_media/2009_2010/invalsi_matematica_2009-2010_prima.pdf

CORREZIONE GUIDATA: http://lnx.sinapsi.org/public/Matematica_0910_I_Media_Correzione.pdf

NUMERI AMICI, PERFETTI, FIDANZATI, FELICI

Un giorno chiesero a Pitagora: "Chi è un amico?"
Egli rispose: "Colui che è l'altro me stesso."
E portò come esempio i numeri 220 e 284. Sono due numeri amici perché ciascuno di essi è uguale alla somma dei divisori propri dell'altro.
Un divisore proprio di un numero è un divisore minore del numero stesso.
I divisori di 220 sono 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
I divisori di 284 sono 1,2,4,71,142
1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220
I numeri  200 e 284 sono la più piccola coppia di numeri amici.

Da un racconto di Titu Andreescu, Illinois Mathematics and Science Academy.

Il sultano e il matematico

C'era una volta un sultano che si considerava un grande solutore di problemi.
Le guardie gli dissero che uno dei suoi prigionieri era un matematico.
Il giorno seguente il sultano andò a far visita al prigioniero e gli lanciò la sfida seguente:
"Puoi scegliere se rimanere in prigione per tutta la vita o darmi un problema da risolvere. Ma deve essere un problema veramente difficile perché ti lascerò libero finché non troverò la soluzione, ma appena avrò trovato la soluzione ti farò tagliare la testa."
Il prigioniero accettò la sfida senza esitazione.
Diede al sultano il seguente problema:
"La somma di tutti i divisori di 200, escluso il numero stesso, è:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
e la somma di tutti i divisori di 284, escluso il numero stesso, è:
1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.
Trova un'altra coppia di numeri come questi."
Il prigioniero di questa storia se ne andò libero e morì a tarda età con la testa sul collo perché il sultano non fu mai capace di risolvere il problema che egli gli diede.


La coppia di numeri amici (17.296 ; 18.416), spesso attribuita a Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 agosto 1601 – Castres, 12 gennaio 1665), in realtà è stata scoperta dall'arabo al-Banna nel XIII secolo.
La coppia (9.363.584; 9.437.056) fu scoperta da Descartes.
Il mitico Euler (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783), è stato un matematico e fisico svizzero.scoprì ben 59 coppie di numeri amici.
Thabit ibn Qurra scoprì una formula per calcolare coppie di numeri amici.
Se si riesce a trovare un numero n che rende primi i numeri a,b,c delle espressioni seguenti:
a = 3 × 2^n - 1
b = 3 × 2^n-1 - 1
c = 9 × 2 ^(2n-1) - 1
allora i due numeri
2n × a × b
2n × c
sono amici.
Per n=2 si ottiene la coppia 220, 284, per n=4 si ottiene la coppia  17.296, 18.416, per n=7si ottiene 9.363.584 and 9.437.056, rispettivamente le coppie di Pitagora, al-Banna e Descartes.
Tra 0 e 100.000.000 esistono 236 coppie di numeri amici.

Se un numero è amicabile di se stesso, cioè se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è euguale a se stesso (come il numero 28), è chiamato "numero perfetto".


Si dicono “numeri fidanzati” due numeri per i quali  la somma dei divisori di un numero (uno escluso) è uguale all’altro numero. Sono fidanzati i numeri 48 e 75. Infatti, i divisori di 48 sono 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24; la loro somma è 75; i divisori di 75 sono 3, 5, 15, 25; la loro somma è 48.

Si prende un numero, si elevano al quadrato le sue cifre e si sommano i risultati, quindi si ripete l'operazione con il numero ottenuto. Se dopo un po’ di passaggi si raggiunge il numero 1, il numero di partenza è detto “numero felice”. 19 è un numero felice, perché 1+81=82; 64+4=68; 36+64=100; 1+0+0=1.

Ecco qui una applet per trovare alcuni numeri amicali , per numeri non più grandi di 50000

NUMERI PRIMI DI MERSENNE

Da http://ilblogdigianni.altervista.org/i-numeri-primi-di-mersenne/ 

                                            I Numeri Primi di Mersenne

M.Mersenne

                                                    Cosa sono i numeri primi di Mersenne?

Un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come:

con “n” intero positivo primo.

I numeri primi di Mersenne prendono il nome da Marin Mersenne, nato l’8 settembre 1588 a Oizé, è stato un matematico, teologo e filosofo, noto principalmente per i cosiddetti numeri di Mersenne. Si dedicò anche alle riedizioni dei trattati di Euclide, Archimede ed altri matematici greci. Grazie alle sue corrispondenze con le principali personalità scientifiche e matematiche dell’epoca, Mersenne fu un attivo divulgatore del pensiero matematico del suo tempo.

Mersenne morì a Parigi il 1 settembre 1648 a causa di complicazioni seguite ad un intervento chirurgico.

Un numero primo è un numero intero divisibile esclusivamente per uno e per se stesso. Per costruire i numeri primi di Mersenne bisogna partire dai numeri primi e poi applicare una semplice formula. Quelli che si ottengono sono però dei semplici numeri di Mersenne, non è detto siano primi. Quindi alla fine bisogna verificare che siano effettivamente primi. Considerando i numeri primi più piccoli: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ecc.

Prendendo il numero 2 e moltiplicandolo per se stesso un numero di volte pari al numero primo di riferimento (n), ottenendo quindi la potenza di 2 di grado n. Se n vale 2 si ottiene 4, se n vale 3 si ottiene 8, se n vale 5 si ottiene 32 e così via. Al risultato ottenuto si deve sottrarre uno. I numeri di Mersenne più bassi che si possono ottenere dunque sono 3, 7, 31 e 127. Ma non è detto che siano numeri primi e quindi primi di Mersenne.

Bisogna quindi infine verificare che i numeri ottenuti siano anche numeri primi. Per fare questo si deve applicare la definizione di numero primo, cioè che esso ammetta come divisore solo se stesso e uno. I più piccoli numeri di Mersenne ottenibili sono: 3, 7, 31 e 127. Ora si deve verificare quali di questi numeri sono numeri primi: provando ad analizzare i divisori puoi scoprire che i più piccoli numeri primi di Mersenne sono proprio quelli appena calcolati, in quanto sono essi stessi primi (oltre che numeri di Mersenne).

Ecco i primi 12 numeri di Mersenne.

I calcolatori hanno accelerato la scoperta dei primi di Mersenne. I primi dodici numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo. Alla fine del millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 47 e i dodici più recenti sono stati scoperti nell’ambito della GIMPS, la Great Internet Mersenne Prime Search, iniziativa che sfrutta le risorse disponibili di migliaia di computer in rete per cercare i primi di Mersenne. Il più grande numero primo conosciuto (a settembre 2008) è proprio un numero di Mersenne trovato nell’ambito della GIMPS; scritto in base dieci è un numero di 12.978.189 cifre, precisamente:

                                                    

ANGOLI ESTERNI DI UN POLIGONO

Ecco qui l'applet di geogebra che abbiamo visto in classe, riguardante la somma degli angoli esterni di un poligono qualsiasi. Vi metto anche il collegamento al blog da cui l'ho tratta: "Sinapsi delle idee" .

PROBLEMI SISTEMA GRAFICO

Per quelli di prima che se la sentono, ecco qualche problema da risolvere con il sistema grafico


La somma di due numeri è 28 e la loro differenza è 12. Quali sono i due numeri?

In una cassetta vi sono mele e pere per un numero complessivo di 65 frutti; le mele sono 19 in più delle pere. Calcola il numero delle mele e delle pere.

Ad una gara podistica partecipano complessivamente 280 atleti fra uomini, donne e ragazzi. Le donne sono 20 in più dei ragazzi e gli uomini 60 in più delle donne. Calcola il numero degli uomini, delle donne e dei ragazzi che partecipano alla gita.

Marco, Luigi e Alice sono 3 fratelli. Marco e Luigi hanno complessivamente 57 anni; Marco ed Alice 46, Luigi ed Alice 41. Qual è l’età di ognuno dei tre fratelli?

SISTEMI DI NUMERAZIONE

Appunti sul sistema di numerazione e sulla forma polinomiale di un numero. Andate qui

ANCORA TEST SULLE OPERAZIONI

Ecco un altro test sulle quattro operazioni..semplice ....un utile ripassino...

Qui trovate ancora materiale per il  ripasso e altri test che aiutano a velocizzarsi nel calcolo ( divisioni in particolare, equivalenze..)

SCACCHI, LEGGENDE E POTENZE

Il gioco degli scacchi è uno dei più antichi del mondo, per quanto non si sappia con precisione chi l’abbia inventato: si presume i cinesi, alcune migliaia di anni fa, o forse gli indiani. Lentamente, con il progredire delle relazioni commerciali, si diffuse in altre regioni e specialmente in Persia, dove divenne ben presto popolare e dove i pezzi acquistarono forme ben definite. Essi erano indicati come Re, Consigliere, Elefante, Cavaliere, Carro di guerra, Soldati. Il gioco arrivò in seguito in Egitto, portato da un ambasciatore persiano che volle insegnarlo anche al Faraone. Questi, entusiasta del gioco, al termine della partita, per testimoniare la propria gratitudine, invitò l’ambasciatore ad esprimere un desiderio qualsiasi che sarebbe stato certamente esaudito. L’interpellato rispose che voleva del grano: un chicco sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così continuando e raddoppiando, fino alla sessantaquattresima casella. “Una cosa da nulla” proclamò il Faraone, stupito che la richiesta fosse così misera, e diede ordine al Gran Tesoriere di provvedere. Dopo oltre una settimana il funzionario, che ne frattempo aveva tentato di fare i conti, si presentò dicendo: “Maestà, per pagare l’ambasciatore non solo non è sufficiente il raccolto annuale dell’Egitto, non lo è neppure quello del mondo intero, e neppure i raccolti di dieci anni di tutto il mondo sono sufficienti”. La storia non dice come rimase il Faraone a tale notizia, ma si suppone piuttosto male; se anche qualcuno fosse incredulo, lo invitiamo a fare le operazioni. Con le moderne macchine calcolatrici potrà constatare, in breve tempo, che il funzionario aveva detto la pura verità. Questa storia contribuisce ad arricchire di mistero  il gioco degli scacchi. Proviamo a capire perché il funzionario del Faraone diceva una cosa esatta. Il numero di chicchi che il Faraone avrebbe dovuto dare all'ambasciatore persiano è il seguente:

18.446.744.073.709.551.615

ossia quasi 18.5 miliardi di miliardi di chicchi!
Per renderci conto di quanto grande sia questo numero, ricordiamo che la produzione mondiale di grano nel 1993 è stata di 5640,6 milioni di quintali e nel 1994 di 5279,8 milioni di quintali (fonte: Calendario Atlante De Agostini 1997). Assumiamo, per eccesso, che la produzione mondiale sia di 6000 milioni di quintali ovvero

produzione mondiale di grano = 600 milioni di tonnellate.

Per difetto assumiamo che ci vogliano 10 chicchi per fare un grammo e che il numero di chicchi sia 18 miliardi di miliardi. Allora il peso dei chicchi che il Faraone avrebbe dovuto consegnare all'ambasciatore persiano vale

peso di 18 miliardi di miliardi di chicchi = 1.800.000 milioni di tonnellate

ovvero la produzione mondiale di grano di ben tremila anni!

ANGOLI COMPLEMENTARI

Per la prima B:
Ecco un filmato che vi mostra come costruire due angoli complementari in maniera dinamica.
E' quasi identico al modo che vi ho fatto vedere io, qui c'è una piccola variante per lo slider.

PROBLEMI SUI SEGMENTI

Per la  I B e in  particolare per chi non avesse capito bene quali sono i compiti per martedì:

Inventare, per ogni problema scritto sotto, un problema dello stesso tipo

Il segmento AB è il doppio del segmento CD e la  loro somma misura 24 m.
Quanto misura ogni segmento?

Il segmento P Q è i 2/5del segmento M N e la loro somma è 21cm.
Quanto misura ogni segmento?

Il segmento A C misura 12 m ed è i 3/4 del segmento M N. Quanto misura M N ?

LOUIS PASTEUR

Un interessante ed istruttivo video su Louis Pasteur, chimico e biologo francese.
Sul sito delle rai tv( on demand ) altre interessantissime biografie!



                   Clicca qui per vedere il video

METODO SCIENTIFICO

"Nessuna quantità di esperimenti potrà dimostrare che ho ragione; un unico esperimento potrà dimostrare che ho sbagliato." ( Albert Einstein, lettera a Max Born del 4 dicembre 1926)

 

                                   

EUCLIDE

Euclide (365 - 300 a.C.)
Visse ad Alessandria, dove insegnò nella biblioteca. La sua opera principale è il trattato Elementi, in 13 libri, una chiara esposizione di quelli che erano gli elementi fondamentali della matematica conosciuta. Si tratta del primo trattato nella Storia della Matematica in cui la geometria viene presentata come un sistema ipotetico-deduttivo, in cui, assunte alcune nozioni comuni come base (postulati), vengono poi dedotte altre affermazioni (teoremi). Gli Elementi costituiscono la più grande opera matematica dell'antichità, e la stessa evoluzione della matematica è stata grandemente influenzata da questo trattato. Di Euclide sono giunti altri lavori, tra cui Ottica, in cui sono contenuti i fondamenti dell'Ottica geometrica.

                                                                 

UN LAVORO STUPENDO ALUNNI ISTITUTO COMPRENSIVO DI MELDOLA

Gli alunni della terza A dell'Istituto Comprensivo di Meldola (FC), guidato dal Prof. Cristofaro Sorrentino, hanno  vinto il "premio Bruno Rizzi 2012",presentando questo bellissimo lavoro sulla matematica nel Medioevo. Complimenti agli alunni e all'insegnante! L'argomento trattato sarà per noi occasione per conoscere meglio i personaggi della singolare e ideale intervista.

                           

                      

GALILEO GALILEI

Galileo Galilei: per gli alunni di prima, a proposito di quanto vi abbiamo detto sia io, sia il prof. di religione.


         

METODO SCIENTIFICO

Per gli alunni di prima, ecco una chiara spiegazione sul modo di condurre una indagine scientifica. Si riferisce agli esperimenti condotti nel 1668 da Francesco REDI, medico toscano e poi nel 1700 da Lazzaro SPALLANZANI,naturalista.

                         cliccare immagine 

Ritroviamo, anche in questo video,la spiegazione di come fu condotto l'esperimento che aveva lo scopo di dimostrare la falsità della teoria della "generazione spontanea"

  

     

RIPASSO DI MATEMATICA

Se dovete chiarire dei dubbi e siete troppo impazienti per aspettare, date un'occhiata qui!