NUOVO NUMERO PRIMO, HA OLTRE 20 MILIONI DI CIFRE

http://www.wired.it/scienza/2016/01/20/calcolato-numero-primo-grande-mondo/

Com’è fatto questo numero record? 

È uno dei cosiddetti numeri di Mersenne, numeri che si esprimono nella forma M(n)=2^n-1, ossia elevando 2 alla n-ma potenza e togliendo 1. Non tutti i numeri di Mersenne sono primi, ma in alcuni casi sì.

Finora, erano stati trovati 48 numeri primi di Mersenne e il 48-mo, M(55.885.161), era il vecchio primatista di numero primo più grande. Il 7 gennaio, Curtis Cooper della University of Central Missouri ha trovato il 49esimo numero primo di Mersenne, che è quello che attualmente è il più grande numero primo del mondo: M(74.207.281), ossia 2 alla 74.207.281, meno 1.

Curtis Cooper

Questo numero ha oltre 20 milioni di cifre (precisamente 22. 338.618) ed è circa 5 milioni di cifre più lungo del precedente primo record. e il risultato è stato controllato da computer più potenti che hanno lavorato tre giorni per la verifica. Per Cooper non è una prima volta. Ha infatti già scoperto un numero primo record nel 2005, nel 2006 e nel 2013.

Cooper ha trovato questo numero dopo 31 giorni di calcoli continui con il suo pc

Il suo lavoro si inserisce all’interno della Gimps (Great Internet Mersenne Prime Search), un progetto di calcolo distribuito che dal 1996, anno in cui fu fondato da George Woltman, ha trovato finora 15 numeri primi di Mersenne. Il modo in cui si può contribuire a questa ricerca è semplice: basta andare sul sito del progetto e scaricare e installare un software di calcolo per la ricerca di questi numeri primi. Lanciate il programma e lo tenete a lavorare in background, mentre verifica la primalità dei numeri di Mersenne. E’ previsto un premio in denaro per il fortunato che riesce a trovare un nuovo numero primo.

Perché cercare numeri primi sempre più grandi?

Perché più se ne trovano e più per esempio, sarà difficile per i malintenzionati scardinare la difesa crittografica dei nostri dati importanti, come i pin delle carte di credito oppure le password della posta elettronica. L’algoritmo usato per cifrare i nostri dati top secret è il famoso RSA (dal nome dei suoi inventori: Rivest, Shamir e Adleman) che utilizza delle chiavi che si basano sui numeri primi. Più i primi che si adoperano sono grandi, più sarà difficile impossessarsi delle chiavi, e quindi decriptare i dati sensibili.

C’è da dire che questo numero primo record trovato di recente è troppo grande per avere un valore pratico nella crittografia attuale, ma potrebbe essere usato, per esempio, per testare l’hardware dei computer. In generale, comunque, più cose si vengono a scoprire dei numeri primi, più saremo al sicuro. E’ anche per questo che i matematici hanno tra le loro più grandi sfide quella della dimostrazione della congettura di Riemann, che vale un milione di dollari (è uno dei Millennium Problems del Clay Institute of Mathematics) e che riguarda il modo in cui sono distribuiti i numeri primi.

MULTIPLI, DIVISORI, SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

Ecco nuova risorsa interattiva da   http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2014/11/26/scomporre-in-fattori-primi-strumento-interattivo/ 

FATTORIZZAZIONE ANIMATA

Un modo diverso di vedere la scomposizione di un numero in fattori primi, molto divertente e ...........illuminante! Click sulle immagini 

                 

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: VIDEO RIPASSO

E se qualcuno ha ancora bisogno di una spiegazione , ecco qui un bel ripassino!

L'ALBERO DEI NUMERI

Ragazzi di  prima, adesso che abbiamo parlato di multipli, divisori e numeri primi, guardate come cresce questo fantastico albero.....ogni numero si attacca al ramo  del suo maggiore divisore, alla fine sulla destra rimangono i numeri primi.
E' veramente bello!

                                                                 Cliccare sull'immagine

NUOVO ENORME NUMERO PRIMO

Da http://www.ilpost.it/2013/02/06/numero-primo-piu-grande-conosciuto/  riprendiamo questa notizia:

                                                    Il nuovo enorme numero primo!

Il matematico Curtis Cooper della University of Central Missouri, negli Stati Uniti, ha annunciato di avere identificato il più grande numero primo fino a ora calcolato. Il numero è composto da 17.425.170 cifre e se fosse scritto per intero in un file di testo di un computer occuperebbe circa 22,5 megabyte. Il nuovo numero primo, che per la precisione corrisponde a 2  ^57.885.161-1, ne ha superato uno identificato cinque anni fa dalla University of California di Los Angeles.

In matematica, un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che può essere diviso solamente per 1 e per se stesso. Quindi 2, 3, 5, 7, 11, 13… sono tutti numeri primi, mentre 4, 6, 8… non lo sono perché possono essere divisi per più numeri, e sono quindi detti composti. I numeri primi sono tutti dispari (i pari sono sempre divisibili per 2) a parte il 2, unico numero pari che può essere diviso solo per 1 e per se stesso. Il numero primo trovato da Cooper è quindi un lunghissimo numero dispari che si ottiene moltiplicando il 2 per se stesso per 57.885.161 di volte e sottraendo infine un’unità che lo rende dispari e non divisibile, se non per se stesso e per 1.

Il nuovo numero primo più lungo conosciuto deriva dalla Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), un progetto di calcolo distribuito (tanti computer in rete che insieme fanno i calcoli) nato con lo scopo di ricercare i “numeri primi di Mersenne”, cioè quei numeri primi che hanno forma 2^p-1, dove “p” è a sua volta un numero primo. Il progetto va avanti da 16 anni circa e ha consentito di scoprire 13 numeri primi di Mersenne, su un totale di 48 numeri di Mersenne noti. Il teologo e matematico francese Marin Mersenne tra il XVI e il XVII secolo compilò una prima lista di numeri nella forma 2^p-1. Buona parte dei numeri di Mersenne non sono primi, ma il sistema è comunque uno dei migliori conosciuti per calcolare e identificare nuovi numeri divisibili solo per loro stessi e per 1.

Abbiamo parlato dei numeri primi di Mersenne anche qui

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

Ragazzi di prima, ho trovato proprio adesso questa risorsa, dedicata a tutti coloro che hanno difficoltà nella scomposizione in fattori primi.
Andate qui, vi potreste anche divertire!!!!
Vi consiglio anche di farvi una bella passeggiata nel sito, ci sono cose molto carine, utili, interessanti! ( Ad es. dei video in inglese sulla matematica, che mi hanno fatto venire un'idea! Provate ad indovinare quale!)

NUMERI PRIMI DI MERSENNE

Da http://ilblogdigianni.altervista.org/i-numeri-primi-di-mersenne/ 

                                            I Numeri Primi di Mersenne

M.Mersenne

                                                    Cosa sono i numeri primi di Mersenne?

Un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come:

con “n” intero positivo primo.

I numeri primi di Mersenne prendono il nome da Marin Mersenne, nato l’8 settembre 1588 a Oizé, è stato un matematico, teologo e filosofo, noto principalmente per i cosiddetti numeri di Mersenne. Si dedicò anche alle riedizioni dei trattati di Euclide, Archimede ed altri matematici greci. Grazie alle sue corrispondenze con le principali personalità scientifiche e matematiche dell’epoca, Mersenne fu un attivo divulgatore del pensiero matematico del suo tempo.

Mersenne morì a Parigi il 1 settembre 1648 a causa di complicazioni seguite ad un intervento chirurgico.

Un numero primo è un numero intero divisibile esclusivamente per uno e per se stesso. Per costruire i numeri primi di Mersenne bisogna partire dai numeri primi e poi applicare una semplice formula. Quelli che si ottengono sono però dei semplici numeri di Mersenne, non è detto siano primi. Quindi alla fine bisogna verificare che siano effettivamente primi. Considerando i numeri primi più piccoli: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ecc.

Prendendo il numero 2 e moltiplicandolo per se stesso un numero di volte pari al numero primo di riferimento (n), ottenendo quindi la potenza di 2 di grado n. Se n vale 2 si ottiene 4, se n vale 3 si ottiene 8, se n vale 5 si ottiene 32 e così via. Al risultato ottenuto si deve sottrarre uno. I numeri di Mersenne più bassi che si possono ottenere dunque sono 3, 7, 31 e 127. Ma non è detto che siano numeri primi e quindi primi di Mersenne.

Bisogna quindi infine verificare che i numeri ottenuti siano anche numeri primi. Per fare questo si deve applicare la definizione di numero primo, cioè che esso ammetta come divisore solo se stesso e uno. I più piccoli numeri di Mersenne ottenibili sono: 3, 7, 31 e 127. Ora si deve verificare quali di questi numeri sono numeri primi: provando ad analizzare i divisori puoi scoprire che i più piccoli numeri primi di Mersenne sono proprio quelli appena calcolati, in quanto sono essi stessi primi (oltre che numeri di Mersenne).

Ecco i primi 12 numeri di Mersenne.

I calcolatori hanno accelerato la scoperta dei primi di Mersenne. I primi dodici numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo. Alla fine del millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 47 e i dodici più recenti sono stati scoperti nell’ambito della GIMPS, la Great Internet Mersenne Prime Search, iniziativa che sfrutta le risorse disponibili di migliaia di computer in rete per cercare i primi di Mersenne. Il più grande numero primo conosciuto (a settembre 2008) è proprio un numero di Mersenne trovato nell’ambito della GIMPS; scritto in base dieci è un numero di 12.978.189 cifre, precisamente:

                                                    

NUMERI PRIMI E CRITTOGRAFIA

Da quando esiste la matematica, si è cercata una regola  che permetta di individuare i numeri primi, cioè quei numeri che sono divisibili soltanto per se stessi e per 1. 

Il grande matematico tedesco Georg Bernhard Riemann nel 1859 introdusse una funzione ( una formula), da allora nota come “zeta di Riemann”, che – si suppone – permette di individuare tutti i numeri primi.

Non si tratta di cosa da poco. E’ noto che esistono infiniti numeri primi, ma capire se un numero è primo o meno può portare via molto tempo. Se il numero è molto elevato, l’impresa è ardua anche per un computer.

La validità della funzione zeta di Riemann è stata verificata per un miliardo e mezzo di casi; ma ciò non rappresenta una dimostrazione della sua validità in generale.

Ci ha provato  anche John Nash, il matematico impersonato da Russell Crowe nel film “A beautiful mind”. 

E’ ormai da trent’anni che John Nash (nato nel 1924, premiato con il Nobel per l’economia nel ’94) convive con una forma grave di schizofrenia, forse dovuta allo sforzo mentale.

Per un matematico trovare la dimostrazione dell’ipotesi di Riemann varrebbe più di tutto l’oro del mondo, ma, anche da un punto di vista venale, un tale risultato varrebbe ben più del milione di dollari messo in palio dal Clay Mathematics Institute. 

Il mondo dei numeri primi è ancora largamente inesplorato. Per questo, e per le loro proprietà matematiche, i numeri primi sono la base di un ampio insieme di codici, in particolare dei codici in uso nell’era di Internet. Chi riuscisse a dimostrare l’ipotesi di Riemann otterrebbe la piena conoscenza di quel mondo, e dunque la capacità di poter violare i codici elettronici.

Erano gli anni ’70 quando tre ricercatori del MIT – Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman – svilupparono l’algoritmo che, a partire dal nuovo millennio, costituisce la base dei cifrari che proteggono la riservatezza dei numeri delle carte di credito, e in generale di qualunque password di accesso online. Il codice si basa sulla scelta di due numeri primi, che ne rappresentano le chiavi; più alti sono, più il codice è sicuro. Il messaggio cifrato che viaggia sul Web, per esempio dalla banca al cliente,è legato al prodotto di quei due numeri; ma risalire, dal prodotto, ai due numeri che l’hanno generato, e quindi violare il codice, è praticamente impossibile, anche per il più potente dei computer.

Per farsi un’idea: in un esperimento effettuato nel 2005, un supercomputer il cui sistema di calcolo radunava la potenza di ottanta processori da 2,2 Giga Hertz impiegò cinque mesi per trovare due divisori primi di un numero di 193 cifre. I numeri utilizzati nella cifratura RSA (così chiamata dalle iniziali dei suoi inventori) sono costituiti, di regola, da trecento cifre decimali.

La cifratura RSA sta rapidamente diventando la protezione standard dei dati ultrasensibili in ambiente internet. Si basa sull’assunto secondo cui fattorizzare un numero molto grande (cioè, trovare tutti i numeri primi che lo dividono) è un’operazione impraticabile da un punto di vista computazionale. Ciò è senz’altro vero allo stato attuale delle conoscenze, ma la ricerca va avanti.

Se venisse dimostrata l’ipotesi di Riemann, se i numeri primi uscissero dal mistero in cui sono avvolti, chissà... Crollerebbe Wall Street? Sprofonderebbe il Nasdaq? 

 “Il mondo degli affari non ha mai prestato tanta attenzione come oggi a quanto accade sulle lavagne dei matematici puri”.

Vedi qui sotto un ulteriore  esempio di codici con doppia chiave.

Ogni utilizzatore si crea la propria coppia di chiavi; la chiave privata viene tenuta segreta e non viene mai rivelata a nessuno (nemmeno alle persone con le quali si comunica); viceversa, la chiave pubblica viene diffusa in vari modi, per esempio depositata in archivi pubblici (keyserver) a disposizione di chi la desideri. È importante che la chiave pubblica sia liberamente accessibile, perché chiunque voglia comunicare con la persona che l'ha generata dovrà preventivamente munirsi di questa, con la quale cifrerà il messaggio da inviargli.

MULTIPLI E DIVISORI

Per gli alunni di prima..
Iniziamo un nuovo percorso, non facile, come potrebbe sembrare.....che ci porterà nel mondo dei numeri primi
Ecco qua una risorsa ( del prof. Enzo Mardegan ), con cui integrare il nostro libro di testo e un po' di esercizi...