RADICE QUADRATA DI DUE E' UN NUMERO IRRAZIONALE

Per Pitagora "tutto era numero": il numero era  la chiave per svelare i segreti dell'universo. E per Pitagora i numeri erano tutti esprimibili attraverso semplici e "rassicuranti" rapporti matematici, frazioni di numeri interi.

Ma un giorno questo universo fatto di solide certezze matematiche vacillò fin quasi a crollare, sotto il peso di una nuova, terribile scoperta. Qualcuno (probabilmente Ippaso di Metaponto) si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

Fu un vero e proprio terremoto: si aprivano nell'universo dei numeri "buchi neri" impensabili: i numeri irrazionali, la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc.) non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Come prima conseguenza della scoperta, i Pitagorici furono costretti ad ammettere che il punto non ha dimensioni, contrariamente a quanto avevano sempre creduto e affermato: essi infatti ritenevano che i punti avessero una dimensione, fossero molto piccoli e tutti uguali, ma non nulli. Ora invece risultava evidente che un segmento e in generale una figura geometrica sono costituiti da infiniti punti di dimensione nulla. Infatti, nel caso in cui un segmento fosse costituito da un numero finito di punti, ne risulterebbe, ad esempio, che il lato del quadrato conterrebbe un numero intero di punti, e corrisponderebbe quindi ad x volte la dimensione di un punto. La diagonale, a sua volta, sarebbe y volte la dimensione del punto.

Pitagora censurò immediatamente la scoperta e l'incauto scopritore fu messo a tacere. I Pitagorici continuarono a sviluppare e diffondere le loro teorie cercando di tenere nascosta questa verità, nella speranza che prima o poi si potesse trovare una soluzione.

Ma qualcuno parlò.

Il “traditore” fu Ippaso di Metaponto, proprio colui che, forse, questa incommensurabilità l'aveva scoperta.

La reazione dei pitagorici fu durissima: Ippaso fu bandito e gli fu costruito, quantunque ancora in vita, un monumento funebre. Morì poco tempo dopo vittima di un naufragio, secondo la leggenda, "per volere di Zeus adirato": sulla sua morte sorse ben presto una diceria che ne fa un vero e proprio "giallo" dell'antichità. Si disse infatti che il suo assassinio fosse stato commissionato da Pitagora.

In questo video è riportata la dimostrazione per assurdo che la radice quadrata di 2 non può essere un numero razionale, forse un po' difficile per un alunno di seconda media, ma non impossibile da capire. 

Vediamo:

                

SOLUZIONE PROBLEMA PIEGATURA FOGLIO

Da http://untesoroinognidove.blogspot.it/2012/01/sara-mica-matematica-10-le-soluzioni.html

Alla prima piegatura, lo spessore è 0,1 mm x 2 = 0,2 mm.

Dopo la seconda piegatura, diventa 0,2 mm x 2 = 0,4 mm. Si potrebbe anche scrivere 0,1 mm x 2 x 2 = 0,4 mm, cioè 0,1 mm x 2^2 (che sarebbe 0,1 mm per due alla seconda).

Con la terza piegatura si ottiene lo spessore 0,1 mm x 2 x 2 x 2 = 0,1 mm x 2^3 = 0,8 mm.

E così via.

 Alla piegatura numero 20, lo spessore sarà:

0,1 mm x 2^20 = 0,1 mm x 1048576 = 104857,6 mm

Cioè 104,8576 metri. Facciamo 105 metri e non se ne parli più, d’accordo?

In altre parole abbiamo quasi doppiato la torre di Pisa (che è alta 56 metri). Oppure, se preferite, abbiamo costruito un grattacielo, se è vero che si considera grattacielo “qualsiasi edificio di altezza superiore ai 100 metri”.

Se poi tiriamo dritto e continuiamo a piegare per 42 volte, otterremo lo spessore:

0,1 mm x 2^42 = 0,1 mm x 4.398.046.511.104 = 439.804.651.110,4 mm

Cioè 439.804,6511104 chilometri. Per non farla troppo complicata, diciamo 440.000 km (quattrocentoquarantamila chilometri!).

Sapendo che la distanza media tra la Terra e la Luna è di circa 384.000 km, possiamo dire di aver raggiunto la Luna con un foglio di carta.

Anzi, l’abbiamo oltrepassata di quasi 40.000 chilometri.

Qualcuno allora potrebbe chiedersi: perché proprio 42 volte? Non ne potevano bastare 41?

No, non potevamo: a ogni piegatura lo spessore raddoppia, quindi alla piegatura 41 si ha metà spessore rispetto alla 42. Cioè si arriva solo a 220.000 km circa. Decisamente troppo poco per mettere piede sulla Luna.

Sono le meraviglie della crescita esponenziale.

E, vi sembra impossibile piegare un foglio A4 20 o 42 volte? Il fatto  è che non è necessario piegare alcun foglio, bisogna solo immaginare di farlo!

Guardate anche questo filmato, ci sono i sottotitoli in italiano

Non è la prima volta che dobbiamo lavorare con la fantasia! Durante le  lezioni di geometria abbiamo parlato  di punti e  abbiamo detto che un punto possiamo solo immaginarlo perchè non ha dimensioni! 

FAR MUOVERE UN PUNTO/ GEOGEBRA

Ecco le istruzioni per far muovere un punto, come abbiamo fatto questa mattina in classe.

Griglia
Vista algebra
Costruire uno slider con variabile a da -2 a +8
Nella barra di inserimento in basso digitare A= ( a, 4)
Invio
Nel piano compare il punto A
Animazione attiva dello slider
Il punto si muove orizzontalmente, il valore y del punto  rimane 4, il valore x cambierà da -2 a 8.
A piacere si potrà abbellire il tutto con i colori dinamici.

Se si vuole che il punto si muova verticalmente si procede così:

Griglia
Vista algebra
Costruire uno slider con variabile a da -2 a +8
Nella barra di inserimento in basso digitare A= ( 5,a)
Invio
Nel piano compare il punto A
Animazione attiva dello slider
Il punto si muove verticalmente, il valore x del punto  rimane 5, il valore y cambierà da -2 a 8.
A piacere si potrà abbellire il tutto con i colori dinamici e mettere traccia attiva.

Ora fate due slider a ( da -2 a 8 ) e b ( da -2 a 8) e guardate cosa succede. Selezionate traccia attiva

Variate a piacere i valori di a e b, selezionate traccia attiva e guardate cosa succede.

A questo punto se inserissimo una immagine, ad esempio una farfalla e la fissassimo al punto A, la farfallina si muoverebbe con il punto!